题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为
．（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为
的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；（3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆
的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为
，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．
【答案】分析：（1）根据椭圆的性质，可知焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入，即可得出a，b的值，求出椭圆的方程．
（2）利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
（3）先假设：△PSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．
解答：解：（1）由题意得
，解得
所求的方程为
（2）直线方程为
，
代入椭圆方程得
，所以
，
由弦长公式求得
．
（3）当P在y轴上，Q在x轴上时，△PSQ不是正三角形．
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为
，
由
得
（1），同理
（2）
由△PSQ为正三角形，得
，即3|OP|2=|OQ|2
所以
，化简得
，
，即
．
所以△OPQ不是正三角形．
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用
（2）利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
（3）先假设：△PSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．
解答：解：（1）由题意得
，解得所求的方程为
（2）直线方程为
，代入椭圆方程得
，所以，由弦长公式求得
．（3）当P在y轴上，Q在x轴上时，△PSQ不是正三角形．
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为
，由
得（1），同理（2）由△PSQ为正三角形，得
，即3|OP|2=|OQ|2所以
，化简得，，即．所以△OPQ不是正三角形．
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用
练习册系列答案
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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点
．
，求点Q的轨迹方程．
（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）