Question

【题目】如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 ， ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解．如图建系，设椭圆方程为 ，则c=1

又∵ 即（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴a2=2

故椭圆方程为

（2）解．假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则

设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，

于是设直线l为y=x+m，由 得3x2+4mx+2m2﹣2=0，

又F为△PQM的垂心，则MP⊥FQ，

故 又yi=xi+m（i=1，2）

得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0由韦达定理得

解得 或m=1（舍）经检验 符合条件，

此时直线l的方程为y=x﹣ ．

【解析】（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据 求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x1+x2和x1x2 ， 进而利用 求得m．