Question

【题目】已知函数f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m为常数），其最大值为2． （Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），求cos2α的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m为常数），

化简可得：f（x）=4sinxcosxcos ﹣4sin2xsin +m=sin2x﹣2 sin2x+m

=sin2x+ cos2x﹣ +m=2sin（2x+ ）﹣ +m

∵最大值为2．

即2﹣ +m=2，

可得m= ．

（Ⅱ）由f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），即2sin（2α+ ）= ．

∴sin（2α+ ）=

∵﹣ ＜α＜0

∴ ＜2α+ ＜ ．

∴cos（2α+ ）= ；

那么cos2α=cos[（2α ） ]=cos（2α+ ）cos +sin（2α+ ）sin =

【解析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值．（Ⅱ）f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0）带入计算，找出等式关系，利用二倍角公式求解即可．