Question

【题目】已知在△ABC中， ．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，

∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，

化为sinAsinB﹣ sinAcosB=0，

∵sinA≠0，

∴sinB﹣ cosB=0，

∵cosB≠0，

∴tanB= ，

∵B∈（0，π）．

解得B= ．

（2）解：∵a+c=1，

∴1≥2 ，

化为ac≤ ．

由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac≥ ，当且仅当a=c= 时取等号．

∴b≥ ．

又b＜a+c=1．

∴b的取值范围是[ ，1）．

【解析】（1）由cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，可得﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，可化为tanB= ，即可得出．（2）由a+c=1，利用基本不等式的性质化为ac≤ ．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac，利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两角和与差的余弦公式：；两角和与差的正弦公式：．