Question

【题目】设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有；

（3）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立?若存在，找出一个正整数;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）利用可得数列是等比数列，根据等比数列的通项公式可得，进而可得；

（2）通过放缩可得，再按照和两种情况分别证明即可；

（3）通过放缩得到，再分为奇数和为偶数两种情况讨论即可得到答案.

（1）令，得，得，

因为，所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以,.

（2）由得

，

又，

当时，，所以，

当时，

，

∴对任意正整数都有.

（3），，

，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

所以存在正整数，使得成立.