题目内容

f(x)=
2
cos(x+
π
4
)+2x2+x
2x2+cosx
，最大值M，最小值N，则（　　）
分析：利用两角和的余弦公式化简函数f（x）的解析式为 1+
x-sinx
2x2+cosx
．则f（x）=g（x）+1，g（x）是奇函数，故g（x）的最大值与最小值的和等于0．而函数f（x）的最大值M与最小值N之和等于2加上g（x）的最大值与最小值之和，由此求得M+N的值．
解答：解：f(x)=
2
cos(x+
π
4
)+2x2+x
2x2+cosx
=
2
(
2
2
cosx-
2
2
sinx)+2x2+x
2x2+cosx
=
cosx-sinx+2x2+x
2x2+cosx
=1+
x-sinx
2x2+cosx
．
令g（x）=
x-sinx
2x2+cosx
，则f（x）=g（x）+1，g（x）是奇函数，故g（x）的最大值与最小值的和等于0．
而函数f（x）的最大值M与最小值N之和等于2加上g（x）的最大值与最小值之和，故M+N=2，
故选D．
点评：本题主要考查两角和的余弦公式，用常数分离法化简函数的解析式，利用函数的奇偶性求函数的值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=2cos
π
6
x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（　　）
A、-3-
3
B、2
C、2+
3
D、3+
3
已知f(x)=2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤
π
2
)，g（x）=ex-x2+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点(0，
3
)，且在该点处切线的斜率为-2．
（I）若点A(
π
2
，0)，点P是函数y=f（x）图象上一点，Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=
3
2
，x0∈[
π
2
，π]时，求x0的值；
（II）当a＞1+ln2时，试问：是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线？并证明你的结论．
关于函数f(x)=2sin(3x-
3
4
π)，有下列命题：
①其最小正周期为
2
3
π；
②其图象由y=2sin3x向左平移
π
4
个单位而得到；
③其表达式写成f(x)=2cos(3x+
3
4
π)；
④在x∈[
π
12
，
5
12
π]为单调递增函数；
则其中真命题为
①③④
①③④
．
已知函数f(x)=2cos(ωx+
π
6
)（其中ω＞0x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；  
（2）设α、β∈[0，
π
2
]，f(5α+
5
3
π)=-
6
5
，f(5β-
5
6
π)=
16
17
，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．
（3）求f（x）的单调递增区间．

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