题目内容
已知函数f(x)=2cos(ωx+
)（其中ω＞0x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α、β∈[0，
]，f(5α+
π)=-
，f(5β-
π)=
，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．
（3）求f（x）的单调递增区间．
| π |
| 6 |
（1）求ω的值；
（2）设α、β∈[0，
| π |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 6 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| 16 |
| 17 |
（3）求f（x）的单调递增区间．
分析：（Ⅰ）根据函数的周期求出ω的值．
（Ⅱ）由条件求得sinα=
，cosβ=
，根据α、β∈[0，
]，求得cosα=
=
，sinβ=
=
，由此求得cosαcosβ-sinαsinβ的值．
（Ⅲ）由于
，由2kπ-π≤
+
≤2kπ，求得x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由条件求得sinα=
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 17 |
| π |
| 2 |
| 1-sin2α |
| 4 |
| 5 |
| 1-cos2β |
| 15 |
| 17 |
（Ⅲ）由于
|
| x |
| 5 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）根据周期T=
=10π，所以ω=
．…（3分）
（Ⅱ）由于f(5α+
π)=2cos[
(5α+
π)+
]=2cos(α+
)=-2sinα=-
，所以sinα=
．…（5分）
由于 f(5β-
π)=2cos[
(5β-
π)+
]=2cosβ=
，所以cosβ=
．…（7分）
因为α、β∈[0，
]，所以cosα=
=
，sinβ=
=
，…（11分）
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
×
-
×
=-
．…（13分）
（Ⅲ）∵
，由2kπ-π≤
+
≤2kπ，求得10kπ-
≤x≤10kπ-
，k∈Z，…（15分）
故函数的单调递增区间为 [10kπ-
，10kπ-
]，k∈Z．…（18分）
| 2π |
| ω |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）由于f(5α+
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
由于 f(5β-
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 16 |
| 17 |
| 8 |
| 17 |
因为α、β∈[0，
| π |
| 2 |
| 1-sin2α |
| 4 |
| 5 |
| 1-cos2β |
| 15 |
| 17 |
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 17 |
| 3 |
| 5 |
| 15 |
| 17 |
| 13 |
| 85 |
（Ⅲ）∵
|
| x |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 35π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
故函数的单调递增区间为 [10kπ-
| 35π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，复合三角函数的单调性，两角和的余弦公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目