Question

14．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 由双曲线解析式确定出a与c的值，不妨设PF₁＞PF₂，则PF₁-PF₂=2a，利用余弦定理列出关系式，整理求出PF₁•PF₂的值，再利用三角形面积公式即可求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=3，c=5，
不妨设PF₁＞PF₂，则PF₁-PF₂=2a=6，
∵F₁F₂²=PF₁+PF₂-2PF₁•PF₂•cos60°，F₁F₂=2c=10，
∴PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=100，
∴PF₁•PF₂=64，
则△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin60°=16$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了双曲线的简单性质，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．