Question

函数f（x）=（e^x-a）²+（e^-x-a）²（0＜a＜2）的最小值为

1. A.
   a²-2
2. B.
   2（a-1）²
3. C.
   2-a²
4. D.
   -2（a-1）²

Answer 1

B
分析：将函数y=（e^x-a）²+（e^-x-a）²展开，令t=e^x+e^-x，从而可得关于t的关系式f（t）=t²-2at+2a²-2，根据0＜a＜2，结合函数的对称轴，利用二次函数的单调性 可求函数的最小值．
解答：由题意，y=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．令t=e^x+e^-x，则f（t）=t²-2at+2a²-2．
∵t=e^x+e^-x≥2，
∴f（t）=（t-a）²+a²-2的定义域为[2，+∞）．
∵抛物线的对称轴方程是t=a，0＜a＜2
∴[2，+∞）是函数的单调递增区间
∴y_min=f（2）=2（a-1）²．
故选B．
点评：本题主要考查函数的最值，解题的关键是整体代换，利用二次函数求最值的方法进行解题，必须注意函数的定义域的变化．