Question

已知函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx                   x≤0

，g（x）=clnx+b，且x=

2

是函数y=f（x）的极值点．
（1）当x＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）-m有两个零点，求实数b，m满足的条件；
（3）直线l是函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在x₀处的公切线，若x₀∈[2，4]，求

b

c

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）考查函数的导数在极值点两侧的符号，导数大于0的区间是函数的增区间，小于0的区间是函数的减区间．
（2）根据函数的单调性求出f（x）的值域，要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，分b＞0、b=0、b＜0 三种情况求出实数m的取值范围．
（3）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b，c的等式，再借助于其导函数即可求出

b

c

的取值范围．（注意范围限制）．

解答：解：（1）当x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．          
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
当x∈(0，

2

)时，f'（x）＜0，当x∈(

2

，+∞)时，f'（x）＞0．            
当x＞0时，f（x）的递增区间为(

2

，+∞)，递减区间为(0，

2

)．         
（2）由（1）知，当x∈(0，

2

)时，f（x）单调递减，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
当x∈(

2

，+∞)时，f（x）单调递增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．
要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=(2-

2

)e

2

；                                
②当b=0时，m∈((2-2

2

)e

2

，0)；                                   
③当b＜0时，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．
（3）x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
∴f(x0)=(x02-2x0)ex0，f/(x0)=(x02-2)ex0
∴l：y=(x02-2)ex0x+(x02-x03)ex0
∵g（x）=clnx+b，∴g/(x)=

c

x

，∴g（x₀）=clnx₀+b，
∴g/(x0)=

c

x0

，∴l：y=

c

x0

x+clnx0+b-c，
∴

(x02-2)ex0= c x0 (x02-x03)ex0=clnx0+b-c

两式相除得

x02-x03

x02-2

=

clnx0+b-c

c x0

，整理得

b

c

=

x0-x02

x02-2

+1-lnx0，
(

b

c

)/=

-x04-x03+8x02-2x0-4

x0(x02-2)2

，
令h(x0)=-x04-x03+8x02-2x0-4
则h/(x0)=-4x03-3x02+16x0-2=-4x0(x02-4)-3x02-2
∵x₀∈[2，4]，∴h′（x₀）＜0，∴h（x₀）在[2，4]递减，h（x）≤h（2）=0，
∴(

b

c

)/≤0仅在x₀=2取等号，∴

b

c

在[2，4]递减，
∴

b

c

∈[

1

7

-ln4，-ln2]

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数研究单调性和极值，体现了分类讨论的数学思想．