Question

（2013•浙江模拟）在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x²+（y-5）²=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为

（0，15）或（-8，-1）

．

Answer 1

分析：设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心Γ（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式
以及ΓD⊥BC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标．

解答：解：设BC的中点为D，设点A（x₁，y₁ ）、C（x₂，y₂），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（

x2+10

2

，

y2

2

）．
故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．
设BC的方程为y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．则有

|0-5-10k|

k2+1

=5，解得 k=0或 k=-

4

3

．
当k=0时，有

y2-0 x2-10 =0 KΓD= y2 2 -5 x2+10 2 不存在

，当k=-

4

3

时，有

y2-0 x2-10 =- 4 3 KΓD= y2 2 -5 x2+10 2 = 3 4

．
解得

x2=-10 y2=0

，或

x2=-2 y2=16

．
再由三角形的重心公式可得

0=  x1+x 2+10 3 5= y1+y 2+0 3

，由此求得

x1=0 y1=15

 或

x1=-8 y1=-1

，
故点A的坐标为 （0，15）或（-8，-1），
故答案为 （0，15）或（-8，-1）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题．