Question

【题目】已知函数.

（1）确定函数在定义域上的单调性，并写出详细过程；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调性（2）调整不等式为在上恒成立.再利用导数研究函数单调性：当时，函数单调递增，最大值趋于正无穷 ，不符题意；当时，函数先增再减，最大值为，满足题意；当时，最大值大于，不符题意

试题解析：（1）函数的定义域为，

令，则有，

令，解得，

所以在上， ， 单调递增，在上， ， 单调递减.

又，所以在定义域上恒成立.

即在定义域上恒成立，

所以在上单调递减，在上单调递减.

（2）由在上恒成立得： 在上恒成立.

整理得： 在上恒成立.

令，易知，当时， 在上恒成立不可能， ，

又， ，

1°当时， ，又在上单调递减，所以在上恒成立，则在上单调递减，又，所以在上恒成立.

2°当时， ， ，又在上单调递减，

所以存在，使得，

所以在上，在上，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立不可能.

综上所述， .