Question

如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、、,其中.

(Ⅰ)求证:平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各边长度确定，故可利用勾股定理证明垂直关系
，进而由线面垂直的判定定理可证明平面；(Ⅱ)方法一（向量法）：根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，再表示出相关点的坐标，再求面的法向量和直线的方向向量，其夹角余弦值的绝对值即直线和平面所成角的正弦值；方法二（综合法）：过点作于,则易证平面,所以为直线与平面所成的角，进而在求角.
试题解析：(Ⅰ)由翻折不变性可知,,, 在中,,所以，在图中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,
,,所以,,, 设平面的法向量为,则,即,解得，令,得,设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法二:过点作于,由(Ⅰ)知平面,而平面，所以,又,平面,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角. 在中, ，在中,由等面积公式得，在中,，所以直线与平面所成角的正弦值为.