Question

A₁，A₂分别是椭圆的长轴的左、右端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：假设直线A₁P₁与A₂P₂交点为M．设M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），根据M、P₁、A₁三点共线，得到=，同理由M、P₂、A₂三点共线，得到=．将两个等式左右两边对应相乘，并结合椭圆方程进行化简，即可得到直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程．
解答：解：根据题意，假设直线A₁P₁与A₂P₂交点为M．可得A₁（-3，0），A₂（3，0）
设M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），
∵点M在直线PA₁上，∴=，
可得=，即=…①
同理，由=得到=…②
将①、②相乘，得=…③
∵P₁（x₁，y₁）在椭圆上，
∴，可得=4（1-）
代入③，得=-=，
化简整理得，即为直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程
故答案为：
点评：本题给出椭圆长轴的左、右端点A₁、A₂，垂直于长轴的弦为P₁P₂，求直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．