Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是其左右焦点，离心率为

6

3

，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A₁Q斜率为k，且k∈(-

1

2

，  -

1

3

 )，求直线A₂Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F₁QF₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率为

6

3

，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A₂Q的斜率为k'，Q（x₀，y₀），则可得kk'=-

b2

a2

=-

1

3

，利用k∈(-

1

2

，  -

1

3

 )，即可求直线A₂Q斜率的取值范围；
（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F₁QF₂的最小值．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率为

6

3

，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可
∴

c a = 6 3 9 a2 + 1 b2 =1 c2=a2-b2

⇒

a2=12 b2=4

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

12

+

y2

4

=1…（3分）
（2）设A₂Q的斜率为k'，Q（x₀，y₀），则k=

y0

x0+a

，k′=

y0

x0-a

…（5分）
∴kk'=

y02

x02-a2

及

x02

a2

+

y02

b2

=1…（6分）
则kk'=-

b2

a2

=-

1

3

又-

1

2

＜k＜-

1

3

…（7分）
∴

2

3

＜k′＜1，
故A₂Q斜率的取值范围为（

2

3

，1）   …（8分）
（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有a=2

3

，b=2，c=2

2

，|F1F2|=2c=4

2

由椭圆定义，有|QF1|+|QF2|=2a=4

3

…（9分）
∴cos∠F₁QF₂=

|QF1|2+|QF2|2-|F1F2|2

2|QF1||QF2|

…（10分）
=

(|QF1|+|QF2|)2-|F1F2|2-2|QF1||QF2|

2|QF1||QF2|

…（11分）
≥

2b2

( |QF1|+|QF2| 2 )2

-1…（12分）
=2•

b2

a2

-1=-

1

3

…（13分）
∴cos∠F₁QF₂的最小值为-

1

3

．（当且仅当|QF₁|=|QF₂|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F₁QF₂取得最小值）
…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．