Question

【题目】给定正整数，将分拆成若干个互异正整数的和，这些正整数的乘积记为.对所有不同的分法，求的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

设分拆成时，达到最大值.

下面证明：具有以下4条性质.

（1）；

（2）；

（3）最多有一个，使；

（4）.

（1）若有某个，必定是.

令，则，矛盾.

（2）若有某个，使得，则令，.

由，知，矛盾.

（3）若有某个，使得，，则令，.

由

，知，矛盾.

（4）若，则由知，存在，且由前面的讨论有或6.

（ⅰ）当时，将分拆成，由，知，矛盾.

（ⅱ）当时，将分拆成，由，知，矛盾.

若，将分拆成，由，知，矛盾.

综上所述，当达到最大时，的分拆只有两种形式：

第一种形式为；

第二种形式为.

若同时存在上述两种类型的分拆，即，

其中，，.

我们证明必有，.

实际上，若，移项得.矛盾.

同样可知，亦矛盾.

于是，.从而，，即.

此时，对应的值之比为.

因此，当同时存在两种分拆时，第一种形式的分拆使达到最大.

取划分数列，则对给定的整数，总存在确定的整数，

使得.

令，则.

解得，即.

于是，对给定的正整数，总存在确定的整数、，使得.

（1）当时，

，

这是第二种形式的分拆，其中，.

若存在第一种形式的分拆，则由上面讨论，必有，，即

，这与矛盾.

于是，只存在第二种形式的分拆，此时，.

（2）当时，，这是第一种形式的分拆，其中，.此时，.

综上所述，设，