Question

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)是否存在实数，使得函数的极值大于?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为

【解析】

试题（1）函数的定义域为，.

① 当时，，∵∴，∴ 函数单调递增区间为

② 当时，令得，即，.

（ⅰ）当，即时，得，故，

∴ 函数的单调递增区间为.

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴有极大值，其值为，其中.

∵，即， ∴.

设函数，则，

∴在上为增函数，又，则 ，

∴ .

即，结合解得，∴实数的取值范围为.