Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（，0），求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△F₁PF₂的重心为G，内心为I，结合三角形的面积公式，直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，求出几何量，即可求出椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，确定线段AB的中点R的坐标，利用线段AB的垂直平分线l′过定点Q（，0），可得不等式，从而可求实数k的取值范围．
解答：解：（1）设P（x，y）（y≠0），则G（）
设I（x_I，y_I），则∵IG∥F₁F₂，∴
∵|F₁F₂|=2c，∴=|F₁F₂||y|=（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•
∴2c•3=2a+2c
∴
∵直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切
∴
∴b=
∴a=2
∴椭圆的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，可得m²＜4k²+3
∵x₁+x₂=
∴y₁+y₂=
∴线段AB的中点R的坐标为（，）
∵线段AB的垂直平分线l′的方程为，R在直线l′上，
∴
∴m=
∴
∴
∴或．
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．