Question

【题目】已知函数f（x）=xetx﹣ex+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．
（1）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=1，可得x=ex（1﹣t）＞0，

∴原方程无负实数根，

故有 =1﹣t．

令g（x）= ，则g′（x）= ，

∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，

∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，

∴函数g（x）的最大值为g（e）= ，

∴函数g（x）的值域为（﹣∞， ]；

方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t（﹣∞， ]，

∴1﹣t＞ ，

∴t＜1﹣ ，

∴当t＜1﹣ 时，方程f（x）=1无实数根；

（2）解：f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]

由题设，x＞0，f′（x）≤0，

不妨取x=1，则f′（1）=et（1+t﹣e1﹣t）≤0，

t≥1时，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．

①t≤ ，x＞0时，f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤ （1+ ﹣ ），

由（1）知，x﹣ex+1＜0，∴1+ ﹣ ＜0，∴f′（x）＜0，

∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；

② ＜t＜1， ＞1，∴ ln ＞0，

令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[ ﹣e（1﹣t）x]

0＜x＜ ln ，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ln ）上单调递增，

∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0， ln ）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，

综上，当t≤ 时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数

【解析】（1）先确定原方程无负实数根，令g（x）= ，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t（﹣∞， ]，从而求出t的范围；（2）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．