Question

设函数f(x) ＝x³－6x＋5，xR.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x(1，＋)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：(1)f '(x)＝3x²－6，令f '(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.
因为当x>或x<－时，f '(x)>0；
当－<x<时，f '(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－，－)和(，＋)；单调减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，
当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的解．
(3)f(x)≥k (x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．
因为x>1，所以kx²＋x－5在(1，＋)上恒成立．
令g(x)＝x²＋x－5，此函数在(1，＋)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范围是k－3.