Question

8．已知a₁，a₂，a₃，…a_n∈R₊，a=$\sum_{i=1}^{n}$a_i（n∈N，n≥2），求f（a₁，a₂，a₃，…a_n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$的最小值．

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=$\frac{3a-（3a-{a}_{i}）}{3a-{a}_{i}}$=$\frac{3a}{3a-{a}_{i}}$-1，可得f（a₁，a₂，a₃，…a_n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=（$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n），求出[（3a-a₁）+（3a-a₂）+…+（3a-a_n）]•（$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n）≥an，
则f（a₁，a₂，a₃，…a_n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=（$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n）的值可求．

解答 解：∵$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=$\frac{3a-（3a-{a}_{i}）}{3a-{a}_{i}}$=$\frac{3a}{3a-{a}_{i}}$-1，
∴f（a₁，a₂，a₃，…a_n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=（$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n）
∴[（3a-a₁）+（3a-a₂）+…+（3a-a_n）]•（$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n）
=3a[（3a-a₁）+（3a-a₂）+…+（3a-a_n）]•（$\frac{1}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{1}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{3a-{a}_{n}}$）-[（3a-a₁）+（3a-a₂）+…+（3a-a_n）]×n  
=3a[（3a-a₁）+（3a-a₂）+…+（3a-a_n）]•（$\frac{1}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{1}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{3a-{a}_{n}}$）-a（3n-1）n
≥3a（n+2$\sqrt{\frac{3a-{a}_{1}}{3a-{a}_{2}}•\frac{3a-{a}_{2}}{3a-{a}_{1}}}$+2$\sqrt{\frac{3a-{a}_{1}}{3a-{a}_{3}}•\frac{3a-{a}_{3}}{3a-{a}_{1}}}$+…+2$\sqrt{\frac{3a-{a}_{n-1}}{3a-{a}_{n}}•\frac{3a-{a}_{n}}{3a-{a}_{n-1}}}$）-a（3n-1）n
=3a•[n+2（$\frac{{n}^{2}-n}{2}$）]-3an²+an=an．
上式当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n时等号成立．
∴f（a₁，a₂，a₃，…a_n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{3a-{a}_{i}}$=$\frac{3a}{3a-{a}_{1}}$+$\frac{3a}{3a-{a}_{2}}$+…+$\frac{3a}{3a-{a}_{n}}$-n
≥$\frac{an}{（3a-{a}_{1}）+（3a-{a}_{2}）+…+（3a-{a}_{n}）}$=$\frac{an}{3an-a}=\frac{n}{3n-1}$．

点评 本题是数列与函数的综合题，考查了利用基本不等式求函数的最值，关键是考查灵活变形能力，难度较大．