题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若
，求曲线在
点处的切线方程；
（2）若曲线
与直线
只有一个交点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
和
；（2）
.
【解析】
试题（1）求点
处的切线方程，只要求出导数
，则有切线方程为
；（2）曲线
与直线只有一个交点，说明关于
的方程
只有一个实根，
不可能是根，因此方程可转化为方程
只有一个实根，这样问题又转化为函数
的图象与直线
只有一个交点，因此只要研究函数
的单调性，极值，函数值变化情况，作出简图就可得出结论．
试题解析：（1）
，
，
，所以切线方程为.
（2）曲线
与直线只有一个交点，等价于关于的方程只有一个实根.
显然
，所以方程只有一个实根.
设函数，则
.
设
，
，
为增函数，又
.
所以当
时，
，为增函数；
当
时，
，为减函数；
当
时，，为增函数；
所以在
时取极小值
.
又当趋向于
时，趋向于正无穷；
又当趋向于负无穷时，趋向于负无穷；
又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷.所以图象大致如图所示：
所以方程只有一个实根时，实数
的取值范围为
.
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与答题正确率
﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 20 | 30 | 50 | 60 |
（1）求
关于
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（2）若用
表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间
内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝
， 
＝
－
，
样本数据
的标准差为： 
