Question

【题目】如图，四边形是平行四边形，平面 平面，， ，,,,，为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求证： 平面；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）

【解析】

（1）取的中点，通过证明四边形是平行四边形，可得到 ，从而得证；

（2）由余弦定理证得，通过平面平面即可得证；

（3）由 平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，通过计算距离即可.

（1）证明：取的中点，连接，

在中，因为是的中点，

所以 且，

因为 ， ，，

所以 且，

所以四边形是平行四边形，所以 ，

又平面，平面，

所以 平面．

（2）证明：在中，，，，

由余弦定理得，

因为，

所以.

因为平面平面，平面,平面平面，

所以平面.

（3）解法1：由（1） 平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，

过作，交的延长线于，

则平面，所以是三棱锥的高

由余弦定理可得，

所以,.

.

因为，

即，解得.

所以点到平面的距离为．

解法2：因为 ，且,

所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，

由（2）面.

因为平面，所以平面平面．

过点作于点，又因为平面平面，故平面.

所以为点到平面的距离．

在中，，

由余弦定理可得

所以，

因此，

所以点到平面的距离为