Question

如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k（k＞0）．
（1）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（2）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）由图形据体积公式得出体积关于高x的函数，再由题意中的限制条件得出定义域．
（2）宜用导数法求最值，先求导，解相关的不等式，列表，得出单调性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由水箱的底面边长为2a-2x，高为x，得V=（2a-2x）²•x=4x•（a-x）²，
∵

0＜x＜a x 2a-2x ≤k

∴

0＜x＜a 0＜x≤ 2ak 1+2k .

又a-

2ak

1+2k

=

a

1+2k

＞0，0＜x≤

2ak

1+2k

，
∴故定义域为{x|0＜x≤

2ak

1+2k

}．（5分）

（Ⅱ）∵V=4x•（a-x）²=4x³-8ax²+4a²x，
∴V′=12x²-16ax+4a²，
令V′=0，得x=

a

3

，或x=a（舍）
若

a

3

≤

2ak

1+2k

，即k≥

1

4

时，

∴当x=

a

3

时，V取得最大值，且最大值为

16

27

a3．
若

a

3

＞

2ak

1+2k

，即0＜k＜

1

4

时，V′（x）=12x²-16ax+4a²＞0，
∴V在(0，

2ak

1+2k

]上是增函数，
∴当x=

2ak

1+2k

时，V取得最大值，且最大值为

8k

(1+2k3)

a3．
综上可知，当k≥

1

4

时，x=

a

3

，水箱容积V取最大值

16

27

a3；
当0＜k＜

1

4

时，x=

2ak

1+2k

，水箱容积V取最大值

8k

(1+2k3)

a3．（13分）

点评：考查长方体的体积公式以及用导数数求最值的过程．题型比较基本，运算量不小．