Question

如图，给出定点A(a，0)  (a>0，a≠1)和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

Answer 1

答案见解析

解法一：依题意，记B(－1，b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得．                           ①              ——4分

依题设，点C在直线AB上，故有
．                    ——6分
由 x－a≠0，得 ．                  ②
将②式代入①代得
，
整理得y²[(1－a)x²－2ax+(1+a)y²]=0．                                 ——9分
若y≠0，则(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0<x<a)；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．
综上得点C的轨迹方程为
(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0≤x<a)．               ——10分
∵a≠1，
∴    (0≤x<a)．        ③               ——12分
由此知，当0<a<1时，方程③表示椭圆弧段；
当a>1时，方程③表示双曲线一支的弧段．                             ——14分
解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足．
(ⅰ)当|BD|≠0时，设点C(x，y)，则0<x<a，y≠0．
由CE∥BD得 ．                      ——3分
∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，
∴ 2∠COA=π－∠BOD．
∵          ——6分
．
∴
整理得(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0<x<a)．                             ——9分
(ⅱ) 当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0，0)，满足上式．
综合(ⅰ)，(ⅱ)，得点C的轨迹方程为
(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0≤x<a)．             ——10分
以下同解法一．