Question

函数y=sin²x+2cosx在区间[-

2

3

π，α]上的最小值为-

1

4

，最大值为2，则α的范围是（　　）

• A．[-

  2

  3

  π，

  2

  3

  π]
• B．(-

  2

  3

  π，

  2

  3

  π]
• C．[0，

  2

  3

  π]
• D．(0，

  2

  3

  π]

Answer 1

分析：由已知中函数y=sin²x+2cosx，由同角三角函数的基本关系，我们可将函数的解析式化为y=-（cosx-1）²+2的形式，进而根据函数的最小值为-

1

4

，最大值为2，可求出cosx∈[-

1

2

，1]，结合已知中x∈[-

2

3

π，α]及余弦函数的图象和性质，即可得到α的范围．

解答：解：∵函数y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1=-（cosx-1）²+2
若在区间[-

2

3

π，α]上的最小值为-

1

4

，最大值为2，
则cosx∈[-

1

2

，1]
又∵x∈[-

2

3

π，α]
∴α∈[0，

2

3

π]
故选C

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．