Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=

3

5

，

AB

•

BC

=-21．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．

Answer 1

分析：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简

AB

•

BC

=-21，把cosB的值代入求出ac的值，然后由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac和sinB的值代入即可求出△ABC的面积；
（2）由（1）求出的ac的值和a的值，求出c的值，再由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，sinB以及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，利用大边对大角，由a大于c得到角C为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C的度数．

解答：解：（1）∵

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos(π-B)=-accosB=-

3

5

ac=-21，∴ac=35，
又∵cosB=

3

5

，0＜B＜π，∴sinB=

4

5

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×35×

4

5

=14；
（2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，
则b2=a2+c2-2accosB=49+25-2×35×

3

5

=32，∴b=4

2

，
由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，∴sinC=

csinB

b

=

5× 4 5

4 2

=

2

2

，
又∵a＞c，∴C∈(0，

π

2

)，∴C=

π

4

．

点评：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B，不是角B；第2问中由a＞c，利用大边对大角得到角C为锐角．