Question

12．已知直线l：$\sqrt{3}$x-y+1=0，方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圆．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=3时，试判断直线l与该圆公共点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用4m²+4-4（m+3）＞0，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=3时，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断直线l与该圆公共点的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圆，
∴4m²+4-4（m+3）＞0⇒m＜-1或m＞2…（6分）
（Ⅱ）当m=3时，圆的方程可化为（x-3）²+（y-1）²=4
所以圆心为（3，1），半径为r=2…（8分）
圆心到直线的距离$d=\frac{{|{3\sqrt{3}-1+1}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}＞r$…（10分）
∴直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．