Question

【题目】函数f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜e
B.1＜a＜e
C.0＜a＜e
D.e ＜a＜e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点 ∴等价于方程ax=x3恰有两个不同的解．
当0＜a＜1时，y=ax与y=x3的图象只有一个交点，
不符合题意．
当a＞1时，y=ax与y=x3的图象在x∈（﹣∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，
于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna= ，
令g（x）= ，则 ，
当x∈（0，e）时，g（x）单调递增，
当x＜1时，当g（x）＜0，

x∈（e，+∞）时，g（x）单减且g（x）＞0．
∴要有两个交点，0＜lna＜g（e）= ，即1＜a＜ ．
故选：A
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．