题目内容

已知数列{a_n}中a₁=0，a_n+1=a_n+2n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足 $数学公式$ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

解：（Ⅰ）由已知得a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+4=6，a₄=a₃+6=12．
（Ⅱ）由已知得a_n+1-a_n=2n．所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁= $\text{[math]}$ ，
（Ⅲ）∵a_n=n²-n，
∴ $\text{[math]}$ =n•2ⁿ，
∴数列{b_n}前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=2+2²+2³+…2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹∴ $\text{[math]}$ ，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．
分析：（Ⅰ）由a₁=0，a_n+1=a_n+2n可求得a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）由于a_n-a_n-1=2（n-1），（n≥2），可采用累加法得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₂-a₁）+a₁，从而可求得a_n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得a_n=n²-n，于是 $\text{[math]}$ =n•2ⁿ，其前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②将①②两个式子利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和．
点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的“累加法”求和与“错位相减法”求和，属于中档题．