Question

6．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}+kn$，其中k为常数，a₆=13．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）${S_n}={n^2}+kn$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．n=6时，a₆=13，解得k．进而得出．
（2）${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}={n^2}+kn$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+kn-[（n-1）²+k（n-1）]=2n-1+k．
∴n=6时，a₆=11+k=13，解得k=2．
∴n≥2时，a_n=2n-1+2=2n+1．
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3，上式也成立．
∴a_n=2n+1．
（2）${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．