Question

18．已知直线l：x-2y+m=0上存在点M满足与两点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率k_MA与k_MB之积为-1，则实数m的取值范围是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 设出M的坐标，由k_MA与k_MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．

解答 解：设M（x，y），由k_MA•k_MB=3，得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-1，即x²+y²=4．
联立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+m=0\\{x}^{2}+{y}^{2}=4\end{array}\right.$，得5y²-4my+m²-4=0．
要使直线l：x-2y+m=0上存在点M满足与两点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率k_MA与k_MB之积为-1，
则△=（4m）²-20（m²-4）≥0，即m²≤20．
解得m∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
∴实数m的取值范围是：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
故答案为：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查轨迹方程的应用，考查了数学转化思想方法，训练了利用判别式法判断方程的根，是中档题．