Question

已知向量

a

=(sinωx，2cosωx)，

b

=(cosωx，-

2 3

3

cosωx)（ω＞0），函数f(x)=

a

(

3

b

+

a

)-1，且函数f（x）的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值；  
（2）设△ABC的三边a、b、c满足：b²=ac，且边b所对的角为x，若方程f（x）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过周期求出ω的值．
（2）利用余弦定理求出x的范围，然后求出相位的范围，利用三角函数的值域求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•(

3

b

+

a

)-1=(sinωx，2cosωx)•(sinωx+

3

cosωx，0)-1
=

3

2

sin•2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

…（5分）
∵T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2…（6分）
（2）∵在△ABC中，cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

…（8分）
∴0＜x≤

π

3

，

π

-6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

…（9分）
sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴sin(4x-

π

6

)-

1

2

∈[-1，

1

2

]．
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

=k，有两个不同的实数解时k的取值范围是：(-1，

1

2

)．        …（12分）

点评：本题考查向量的数量积，余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．