Question

设双曲线

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线x-y=0相交于A、B两点，且|AB|=4

2

，则双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

分析：把y=x代入

x2

a2

-y2=1(a＞0)，得

x2

a2

-x2=1，整理得（1-a²）x²-a²=0，然后根据|AB|=4

2

，由根与系数的关系能够求出a²的值，从而推导出双曲线的离心率e．

解答：解：把y=x代入

x2

a2

-y2=1(a＞0)，
得

x2

a2

-x2=1，整理得（1-a²）x²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2= 0，x1•x2=

a2

a2-1

，
∴|AB|=

2(0-4× a2 a2-1 )

=4

2

，解得a2=

4

5

，
∴e=

4 5 +1

4 5

=

3

2

．
答案：

3

2

．

点评：建立方程组，用根与系数的关系导出a²，是准确解题的关键．