Question

【题目】已知函数

（1）若，方程的实根个数不少于2个，证明：

（2）若在，处导数相等，求的取值范围，使得对任意的，，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据导数求出函数的单调性及最值，分析函数的大致图象，即可求出满足条件的的取值范围；

（2）先由题意知在不单调得，分与两种情况，研究的最大值，从而得证.

（1）函数的导函数为：.

函数的导函数为：.

时，，单调递增；

时，单调递减

因为时，时.

所以有两个不同的实数根，（其中）.

时，即在上单调递减,在上单调递减；

时，即在上单调递增.

又因为时，时，

所以，

故即有实根个数不少于2个

由题意得，.

因为，所以.

故.

（2）函数的导函数.

由题意得，在不单调

所以，

函数的导函数为：.

又时，单调递增：时，单调递减

所以a的取值范围是

因为时，时.

所以，.

由得，.

而，其中.

设，，函数的导函数

.即在上单调递增

所以，.即.

因此，.

故.即在上单调递减.

若，则

.即在上单调递减.

所以

若，因为，所以必有，使得当时，

即在上单调递增，这与恒成立矛盾.

综上，.（开闭区间不作要求）