Question

已知f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求的单调区间；
（2）求集合M={m|方程f（x）=m有四个不等的实根}．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的意义，将函数转化为分段函数．利用分段函数判断函数的单调区间．
（2）利用函数的图象确定方程根的取值情况，然后确定方程有4个根的等价条件．

解答：解：（1）若x²-4x+3≥0即x≥3或x≤1时，f（x）=|x²-4x+3|=x²-4x+3=（x-2）²-1，
此时当x≥3时，函数f（x）单调递增，
当x≤1时，函数f（x）单调递减．
若x²-4x+3＜0即1＜x＜3时，f（x）=|x²-4x+3|=-（x²-4x+3）=-（x-2）²+1，
此时当1＜x≤2时，函数f（x）单调递增，
当2≤x＜3时，函数f（x）单调递减．
即函数的单调递增区间为：[3，+∞）和（1，2]．
函数的单调递减区间为：（-∞，1]和[2，3）．
（2）由图象可知当m＞1时，方程f（x）=m有2个根，
当m=1时，方程f（x）=m有3个根，
当m=0时，方程f（x）=m有2个根，
当0＜m＜1时，方程f（x）=m有4个根，
当m＜0时，方程f（x）=m没有根．
故M={m|方程f（x）=m有四个不等的实根}={m|0＜m＜1}．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用绝对值的意义将绝对值转化为分段函数是解决本题的关键．