Question

【题目】已知圆，直线过定点.

（1）若直线与圆有交点，求其倾斜角的取值范围；

（2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）①当直线的斜率不存在时，可知满足题意，得到；②当直线的斜率存在时，可设直线方程，利用圆心到直线距离构造不等式求得的范围，根据斜率和倾斜角关系可得范围；综合两种情况可得结果；

（2）设圆心到直线的距离分别为，得到，利用垂径定理表示出，根据，结合基本不等式可求得最大值.

（1）由圆的方程：圆心，半径，

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

与圆交于点，满足题意，此时；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

直线与圆有交点，圆心到直线距离，

即，解得：，；

综上所述：倾斜角的取值范围为.

（2）设圆心到直线的距离分别为，则，

所以，，

，（当且仅当即时取等号），

四边形的面积的最大值为.