题目内容
(2007
北京，20)已知集合
，其中
．由A中的元素构成两个相应的集合：
；
，其中(a，b)是有序数对．集合S和T中的元素个数分别为m和n．
若对于任意的
，总有
，则称集合A具有性质P．
(1)
检验集合{0，l，2，3}与{－1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；(2)
对任何具有性质P的集合A，证明：
；
(3)
判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
答案：略
解析：
提示：
解析：
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解析： (1)集合{0，1，2，3}不具有性质P．集合 {－1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是S={( －l，3)，(3，－1)}，T={(2 ，－1)，(2，3)}．(2) 首先，由A中元素构成的有序数对 共有 个．因为 ，所以 ；
又因为当  时， ，所以当 时， ，从而，集合T中元素的个数最多为 ，即 ．
(3)m=n ．证明如下：① 对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．
如果 (a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而 a＋b=c＋d与b=d中也至少有一个不成立，故(a＋b，b)与(c＋d，d)也是T的不同元素．可见， S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n．② 对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．
如果 (a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a－b=c－d与b=d中也至少有一个不成立，故(a－b，b)与(c－d，d)也是S的不同元素．可见， T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m．由 ①②可知，m=n． |
提示：
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剖析：本题考查集合的运算与性质、不等式的证明以及对新知识的理解能力． |
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