Question

用放缩法证明下列不等式:

(1)若tanθ=ntanφ(tanθ≠0,n＞0),则tan²(θ-φ)≤;

(2)已知a＞0,b＞0,c＞0,d＞0,求证:1＜＜2.

Answer 1

分析：证明不等式常常需要根据不等式的性质对原不等式的一端进行“同向”变形，即进行放大或缩小.这种利用放缩原理证明不等式的方法叫做放缩法.在放缩代换中常用下列变形:

①A＞B,B＞C,则A＞C;②A=B,B＞C,则A＞C;③A＞B,B=C,则A＞C.

证明：(1)∵tanθ=ntanφ,且tanφ≠0,

∴tan²(θ-φ)=()²=［］²≤.

故原不等式成立.

(2)∵a＞0,b＞0,c＞0,d＞0,则,

,

,

,

将以上各式相加,得

,

即1＜＜2成立.