题目内容

已知an=
1×2
+
2×3
+
3×4
+…+
n(n+1)
（n∈N*），用放缩法证明：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．（提示：
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
）
分析：根据
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
 以及不等式的性质，证得
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．
解答：证明：∵
n(n+1)
=
n2+n
，∴
n(n+1)
＞n，
∴an=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
＞1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
．
∵
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
，
∴an＜
1+2
2
+
2+3
2
+
3+4
2
+…+
n+(n+1)
2
=
1
2
+（2+3+…+n）+
n+1
2
=
n(n+2)
2
．
综上得：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．
点评：本题主要考查用放缩法证明不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
1
6

（Ⅲ）设cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在an与an+1之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列{
1dn
}的前n项和Tn．
（2012•邯郸模拟）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a
 
n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．
在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．

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