Question

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S=5

3

，求b的值．

Answer 1

（1）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
又A为三角形的内角，得出sinA≠0，
∴2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴∠B=

2π

3

；
（2）∵a=4，sinB=

3

2

，S=5

3

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×4c×

3

2

=5

3

，
解得c=5，又cosB=-

1

2

，a=4，
根据余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=16+25+20=61，
解得b=

61

．