Question

已知向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)，函数f（x）=

a

•

b

，且最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[

π

2

，π]，f(2α-

π

3

)=

6

5

，f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，求sin（α+β）的值．
（3）若x∈[-π，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据数量积的坐标公式，得f(x)=

3

sinωx+cosωx，再用辅助角公式化简整理，得f(x)=2sin(ωx+

π

6

)，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω的值；
（2）根据（1）中f（x）的表达式，结合三角函数的诱导公式，算出cosα=-

4

5

、cosβ=-

12

13

，再用两角和的正弦公式，即可算出sin（α+β）的值；
（3）当x∈[-π，π]时，

1

2

x+

π

6

∈（-

π

3

，

2π

3

），利用换元法结合正弦函数的单调性，即可得到函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由题意得：f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)…（2分）
∵F（x）的最小正周期为4π，
∴T=

2π

ω

=4π，解得ω=

1

2

…（4分）
（2）由（1），知f(x)=2sin(

1

2

x+

π

6

)，
则f(2α-

π

3

)=2sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=2sinα=

6

5

∴sinα=

3

5

，结合α∈[

π

2

，π]，得cosα=-

4

5

…（6分）
同理f(2β+

2π

3

)=2sin[(β+

π

3

)+

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=-

24

13

∴cosβ=-

12

13

，结合β∈[

π

2

，π]，得sinβ=

5

13

…（8分）
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=-

56

65

…（10分）
（3）当x∈[-π，π]时，-

π

3

＜

1

2

x+

π

6

＜

2π

3

，
令t=

1

2

x+

π

6

，则t∈[-

π

3

，

2π

3

]，
原函数可化为f（t）=2sint，t∈[-

π

3

，

2π

3

]…（11分）
当t=-

π

3

时，f(t)min=-

3

；                                           …（12分）
当t=

π

2

时，f(t)max=2…（13分）
所以，当x∈[-π，π]时，函数f（x）的值域为：[-

3

，2]…（14分）

点评：本题以向量数量积为载体，求解三角函数的图象与性质等问题，着重考查了三角恒等变换、平面向量的数量积和三角函数的值域与最值等知识，属于中档题．