Question

已知点P(t,y)在函数f(x)=(x≠-1)的图象上,且有t²-c²at+4c²=0(c≠0).

求证:(1)|ac|≥4;

(2)在(-1,+∞)上f(x)单调递增.

(3)f(|a|)+f(|c|)>1.

Answer 1

证明:(1)∵t∈R,t≠-1,∴Δ=(-c²a)²-16c²=c⁴a²-16c²≥0,

∵c≠0,∴c²a²≥16,∴|ac|≥4.

(2)由f(x)=1-,

证法一:设,则f(x₂)-f(x₁)=1--1++1=.

∵,

∴x₂-x₁>0,x₁+1>0,x₂+1>0.

∴f(x₂)-f(x₁)>0,即f(x₂)>f(x₁).

∴x>-1时,f(x)单调递增.

证法二:由f′(x)=,x≠-1,得f′(x)>0.

∴x>-1时,f(x)单调递增.

(3)∵f(x)在x>-1时单调递增,|c|≥>0.

∴f(|c|)≥f()=,

f(|a|)+f(|c|)≥=1.

∴f(|a|)+f(|c|)>1.