题目内容

在正四面体ABCD中，E，F，G分别为AB，CD，BC的中点，则直线EF与直线AG所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：作出图象，如图作EH∥AG交BC于H，可证得角HEF即为两直线所成的角，由图形知三角形HEF的三边易求得，由余弦定理求解HEF的余弦值即可
解答：解：如图，作EH∥AG交BC于H，由定义知角HEF即为两异面直线所成的角
由于正四体，设棱长为2，则AG=，又E是中点由作图知EH=
又可知CF=1，HC=，在三角形HCF中求得HF=
连接AF，BF，可得BF=AF=，E是中点，故得直角三角形FEA，由勾股定理求得EF=
故cos∠HEF==
故选A
点评：本题考查异面直线所成的角，求解的关键是在图形中依据异面积所成角的定义作出异面直线所成的角，作角后一定要证明其就是两直线所成的角，此类题易因为忘记证明而失分．
练习册系列答案
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在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是
 
．（用反三角值表示）
已知有关正三角形的一个结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC内切圆的圆心，则
AG
GD
=2”．若把该结论推广到正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），则有结论：“在正四面体ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面体ABCD内切球的球心，则
AO
OM
=
3
3
”．
某同学使用类比推理得到如下结论：
（1）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类比出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
（3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则
AO
OM
=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则
AO
OM
=3．
其中类比的结论正确的个数是（　　）
在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的大小为
arccos
3
6
arccos
3
6
．
在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是
 
．

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