Question

设县x，y满足约束条件，若z=x²+4y²，则z的取值范围是________．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x²+4y²表示中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，研究当长轴变化时，z的变化情况即可求得z的取值范围．
解答：解：根据约束条件画出可行域
z=x²+4y²表示中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，如图．
当此椭圆与直线x+y=1相切时，z=x²+4y²最小，
由消去x得：5y²-2y+1-z=0，
△=0得z=，即最小距离为，
当此椭圆过点A（，）时，z=x²+4y²最大，最大为z=（）²+4（）²=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．