Question

（本题满分13分）

   如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（III）在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.   

∵PA⊥平面ABCD,

∴BD⊥PA .

∵,

∴.………………………… 4分

得.     ……………………………………………………………5分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系,则，，，

，，

易求平面的法向量为,

平面的法向量为    …………………………………………… 7分

，

二面角的余弦值.    …………………………………………… 9分

（III）因为在上，所以可设，

又,

 

,.……………………… 10分

由（Ⅱ）可知平面的法向量为，

所以设与平面所成的角为，则有：

…………………………………… 11分

所以有，，，      ………12分

所以存在且. ……………………………………………………………13分