Question

如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件合理建立方程，从而得出S关于θ的函数关系式．
（2）利用正弦函数取得最大值的结论，可以得到S的最大值及相应的θ值．

解答：解：（1）∵∠BAD=2θ，
∴△DAD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos2θ=8-8cos2θ，
∵△BCD为正三角形
∴S_△BCD=

3

4

BD²=

3

（2-2cos2θ）
∴四边形ABCD的面积为S=S_△BAD+S_△BCD=

1

2

•AB•ADsin2θ+

3

（2-2cos2θ）
=2

3

+2sin2θ-2

3

cos2θ=2

3

+4sin（2θ-

π

3

），其中θ∈（0，

π

2

）
（2）由（1）得，当2θ-

π

3

=

π

2

时，
即θ=

5π

12

时，S的最大值为4+2

3

．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生知识的掌握和迁移的能力．挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键．