题目内容
如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．
【答案】分析：（1）根据题设条件合理建立方程，从而得出S关于θ的函数关系式．
（2）利用正弦函数取得最大值的结论，可以得到S的最大值及相应的θ值．
解答：解：（1）∵∠BAD=2θ，
∴△DAD中，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos2θ=8-8cos2θ，
∵△BCD为正三角形
∴S△BCD=
BD2=
（2-2cos2θ）
∴四边形ABCD的面积为S=S△BAD+S△BCD=
•AB•ADsin2θ+
（2-2cos2θ）
=
+2sin2θ-2
cos2θ=
+4sin（2θ-
），其中θ∈（0，
）
（2）由（1）得，当2θ-
=
时，
即θ=
时，S的最大值为4+
．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生知识的掌握和迁移的能力．挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键．
（2）利用正弦函数取得最大值的结论，可以得到S的最大值及相应的θ值．
解答：解：（1）∵∠BAD=2θ，
∴△DAD中，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos2θ=8-8cos2θ，
∵△BCD为正三角形
∴S△BCD=
BD2=（2-2cos2θ）∴四边形ABCD的面积为S=S△BAD+S△BCD=
•AB•ADsin2θ+（2-2cos2θ）=
+2sin2θ-2cos2θ=+4sin（2θ-），其中θ∈（0，）（2）由（1）得，当2θ-
=时，即θ=
时，S的最大值为4+．点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生知识的掌握和迁移的能力．挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键．
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