Question

已知函数，满足，且，为自然对数的底数．
（1）已知，求在处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）应用导数的几何意义，求导数，求斜率，确定切线方程；
（2）由已知确定；
根据得：．
，只需．
应用导数，求函数，，的最大值即得解；
（3）设为在时的图象上的任意一点，可得，，．
由于，得到．
， 的情况，求得的取值范围.
方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.
试题解析：（1），
，
在处的切线方程为：，即                  4分
（2），
，从而                      5分
由得：．
由于时，，且等号不能同时成立，所以，．
从而，为满足题意，必须．                         6分
设，，则．
，，
从而，在上为增函数，
所以，从而．                               9分
（3）设为在时的图象上的任意一点，则
的中点在轴上，的坐标为，
，，所以，，．
由于，所以．                                   11分 
当时，恒成立，；                            12分
当时，，
令，则
，，，从而在上为增函数，由于时，，， 
综上可知，的取值范围是．                                        14分