Question

如图在直角坐标系xoy中，圆O与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于点M、N．
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内一定点．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得圆O方程为x²+y²=4，直线l的方程为x=4．由∠PAB=30°算出直线AP、BP的方程，将x=4分别代入，可得M（4，2

3

）、N（4，-2

3

），由此即可算出以MN为直径的圆的方程；
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），由圆O的方程可得y₀²=4-x₀²．算出直线AP、BP以x₀、y₀为参数的方程，从而得到点M、N以x₀、y₀为参数的坐标，算出|MN|=

4|x0-4|

|y0|

且MN的中点坐标为（4，-

4(1-x0)

y0

）．由此利用垂径定理加以计算，得到以MN为直径的圆截x轴的线段长为4

3

，从而可得该圆经过圆O内的定点C(4-2

3

，0)．

解答：解：（1）∵圆O的圆心为原点O，直径|AB|=4，
∴圆O的半径r=2，可得圆O方程为x²+y²=4，
∵定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，∴直线l的方程为x=4，
由∠PAB=30°，可得直线AP的斜率k=tan30°=

3

3

，所以直线AP的方程为y=

3

3

 （x+2），
∵AB是圆O的直径，
∴AP⊥BP，可得直线BP的斜率k'=

-1

k

=-

3

，直线BP的方程为y=-

3

（x-2）．
将x=4分别代入直线AP、BP方程，可得M（4，2

3

）、N（4，-2

3

）．
∴MN的中点坐标为（4，0），且MN=4

3

．
∴以MN为直径的圆，圆心为（2，0），半径R=2

3

，可得它的方程为（x-4）²+y²=12．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=4 （y₀≠0），可得y₀²=4-x₀²，
∵直线AP的方程为y=

y0

x0+2

（x+2），直线BP的方程为y=

y0

x0-2

（x-2），
将x=4代入，可得M的纵坐标y_M=

6y0

x0+2

，N的纵坐标y_N=

2y0

x0-2

．
∴M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），
可得|MN|=|

6y0

x0+2

-

2y0

x0-2

|=

4|x0-4|

|y0|

，
且MN的中点坐标为（4，-

4(1-x0)

y0

）．
由此可得以MN为直径的圆，圆心为（4，-

4(1-x0)

y0

），
半径等于

2|x0-4|

|y0|

，
由垂径定理，可得此圆截x轴的线段长度为：
|CD|=2

4(x0-4)2 y02 - 16(1-x0)2 y02

=

4

|y0|

•

12-3x02

=

4 3

|y0|

•

4-x02

=4

3

（定值）．
又∵直线MN经过x轴上的定点Q（4，0），Q为线段CD的中点，
∴以MN为直径的圆必过圆O内的定点C(4-2

3

，0)．

点评：本题给出以原点为圆心的圆和直线l上的点M、N满足的条件，求以MN为直径的圆的方程及其性质．着重考查了求圆的标准方程、直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．